quantificatori logici
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- Categoria: Logica
- Ultima modifica il Giovedì, 28 Febbraio 2013 15:24
- Pubblicato Domenica, 28 Settembre 2008 14:10
- Scritto da quomodo
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Nella logica formale si chiamano quantificatori espressioni come ‘tutti’ o ‘per ogni’ (quantificatore universale: ∀) e ‘qualche’ o ‘esiste almeno un’ (quantificatore esistenziale: ∃), che danno informazione sull’estensione per cui è valido un certo predicato (P). I quantificatori universale ed esistenziale, combinati col connettivo logico della negazione (¬), riproducono i concetti di base (universali e particolari, affermativi e negativi) dei sillogismi aristotelici:
∀xP(x) | = ogni x è P | (tutti gli alunni sono biondi) |
∀x¬P(x) | = ogni x è non-P | (tutti gli alunni sono non biondi, nessun alunno è biondo) |
∃xP(x) | = qualche x è P | (qualche alunno è biondo) |
∃x¬P(x) | = qualche x è non-P |
(qualche alunno è non biondo) |
Il rapporto tra le quattro formule precedenti è riassumibile nel cosiddetto quadrato aristotelico:
contrari | ||||
∀xP(x) | ↔ | ∀x¬P(x) | ||
sublaterni | ↨ | contraddittori | ↨ | sublaterni |
∃xP(x) | ↔ | ∃x¬P(x) | ||
subcontrari |
I contrari possono essere entrambi falsi, ma non possono essere entrambi veri (tutti sono maschi vs tutti sono non-maschi); i subcontrari possono essere entrambi veri, ma non possono essere entrambi falsi (qualcuno è maschio vs qualcuno è non-maschio); dei contraddittori uno è vero se e solo se l’altro è falso (tutti sono maschi vs qualcuno è non-maschio; tutti sono non-maschi vs qualcuno è maschio); i subalterni esistenziali sono veri a fortiori quando è vero il corrispondente universale (tutti sono maschi vs qualcuno è maschio; tutti sono non-maschi vs qualcuno è non-maschio).
Interessante è il fenomeno per cui, mediante l’inversione nell’uso delle negazioni, si possono convertire tutte e quattro le formule a un unico quantificatore:
∀xP(x) | = ¬∃x¬P(x) | ogni x è P | = non esiste x che sia non-P |
∀x¬P(x) |
= ¬∃xP(x) | ogni x è non-P | = non esiste x che sia P |
∃xP(x) | = ¬∀x¬P(x) |
qualche x è P | = non ogni x è non-P |
∃x¬P(x) | = ¬∀xP(x) | qualche x è non-P |
= non ogni x è P |
In particolare questa proprietà consente con la riflessione (tipica del latino) sulla doppia negazione.
Un’altra osservazione interessante è che allo stesso modello del quadrato aristotelico possono essere ricondotti i rapporti tra i cosiddetti modali potere e dovere:
contrari | ||||
DEVE (necessario) |
↔ | DEVE-NON (impossibile) |
||
sublaterni | ↨ | contraddittori | ↨ | sublaterni |
PUÒ (possibile) |
↔ | PUÒ-NON (contingente) |
||
subcontrari |
Con la stessa possibilità di riduzione mediante negazioni a un unico modale:
deve | = non può-non | (devi andare = non puoi non andare) |
deve-non | = non può | (devi non andare = non puoi andare) |
può | = non deve-non | (puoi andare = non devi non andare) |
può-non | = non deve | (puoi non andare = non devi andare) |