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quantificatori logici

Nella logica formale si chiamano quantificatori espressioni come ‘tutti’ o ‘per ogni’ (quantificatore universale: ∀) e ‘qualche’ o ‘esiste almeno un’ (quantificatore esistenziale: ∃), che danno informazione sull’estensione per cui è valido un certo predicato (P). I quantificatori universale ed esistenziale, combinati col connettivo logico della negazione (¬), riproducono i concetti di base (universali e particolari, affermativi e negativi) dei sillogismi aristotelici:

∀xP(x) = ogni x è P (tutti gli alunni sono biondi)
∀x¬P(x) = ogni x è non-P (tutti gli alunni sono non biondi, nessun alunno è biondo)
∃xP(x) = qualche x è P (qualche alunno è biondo)
∃x¬P(x) = qualche x è non-P 
(qualche alunno è non biondo)

Il rapporto tra le quattro formule precedenti è riassumibile nel cosiddetto quadrato aristotelico:

    contrari    
  ∀xP(x) ∀x¬P(x)  
sublaterni contraddittori sublaterni
  ∃xP(x) ∃x¬P(x)  
    subcontrari    

I contrari possono essere entrambi falsi, ma non possono essere entrambi veri (tutti sono maschi vs tutti sono non-maschi); i subcontrari possono essere entrambi veri, ma non possono essere entrambi falsi (qualcuno è maschio vs qualcuno è non-maschio); dei contraddittori uno è vero se e solo se l’altro è falso (tutti sono maschi vs qualcuno è non-maschio; tutti sono non-maschi vs qualcuno è maschio); i subalterni esistenziali sono veri a fortiori quando è vero il corrispondente universale (tutti sono maschi vs qualcuno è maschio; tutti sono non-maschi vs qualcuno è non-maschio).

Interessante è il fenomeno per cui, mediante l’inversione nell’uso delle negazioni, si possono convertire tutte e quattro le formule a un unico quantificatore:

∀xP(x) = ¬∃x¬P(x)  ogni x è P = non esiste x che sia non-P
∀x¬P(x) 
= ¬∃xP(x)  ogni x è non-P = non esiste x che sia P
∃xP(x) = ¬∀x¬P(x) 
 qualche x è P = non ogni x è non-P
∃x¬P(x) = ¬∀xP(x)  qualche x è non-P 
= non ogni x è P

In particolare questa proprietà consente con la riflessione (tipica del latino) sulla doppia negazione.

Un’altra osservazione interessante è che allo stesso modello del quadrato aristotelico possono essere ricondotti i rapporti tra i cosiddetti modali potere e dovere:

    contrari    
  DEVE
(necessario)
DEVE-NON
(impossibile)
 
sublaterni contraddittori sublaterni
  PUÒ
(possibile)
PUÒ-NON
(contingente)
 
    subcontrari    

Con la stessa possibilità di riduzione mediante negazioni a un unico modale:

deve = non può-non (devi andare = non puoi non andare)
deve-non  = non può (devi non andare = non puoi andare)
può = non deve-non  (puoi andare = non devi non andare)
può-non = non deve (puoi non andare = non devi andare)